掲示板
感想、疑問など、何か御座いましたらどうぞ。
[ﾚｽ書込]
08/19(Sun) 08:28
4000字超えました 1
くろ
こんにちは。
このたび『掲示板』に書き込みをさせていただいた内容は、『呟き』にて書かれた
( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) = a3 + b3 + c3 - 3abc
についてのコメントです。
『呟き』の所に書き込ませていただくつもりだったのですが、あまりにも長文となってしまいましたのでこちらで数回にかけて失礼いたします。
では。
830SH
[削除]
08/19(Sun) 08:30
4000字超えました 2
くろ
展開をすることで証明になるのではないかと勝手に思っていますが、『証明せよ』となると果たして本当にそれでいいものか悩みますね。
根拠が明確になるように詳しく展開して、『よって〜となる』などと、ちょいっと説明を加えてみせれば問題文も納得させられるのではないかと、これまた勝手に思っています。
展開するときれーいに、
a3 + b3 + c3 - 3abc
となるので、それはそれは快感です。
では展開させていただきます。
( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca )
いったん書き出しますね。
= a3 + ad2 + c2a - a2b - abc - ca2
+ a2b + b3 + bc2 - ab2 - b2c - abc
+ a2c + b2c + c3 - abc - bc2 - c2a
３乗を前に出しておきますね。
= a3 + b3 + c3
+ ab2 + c2a - a2b - abc - ca2
+ a2b + bc2 - ab2 - b2c - abc
+ a2c + b2c - abc - bc2 - c2a
並べ替えますね。
= a3 + b3 + c3
+ a2b - a2b + b2c - b2c + c2a - c2a
+ ab2 - ab2 + bc2 - bc2 + ca2 - ca2
- abc - abc - abc
a2b から - ca2 にかけて見事にプラスマイナス０となり、
= a3 + b3 + c3 - 3abc
わーおすっきり。
ここから先はわたしの独りよがりな考察ですので読み飛ばすのが賢明かと思われます。とても長いです。
数学を前に知的欲求をつつかれっぱなしでして。暴走気味なんです。もう誰かに論じ尽くしたくて仕方がないのです。
……では。
830SH
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08/19(Sun) 08:32
3
くろ
この展開した式
a3 + b3 + c3 - 3abc
を見ていると
( a + b + c )3
を連想させられます。a3 ,b3 ,c3 辺りがですね、そう思えてなりません。
何か関係性があるのではないかと気になりだしました。
( a + b + c )3
= a3 + b3 + c3
+ 3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3c2a + 3ca2 + 6abc
なので
( a + b + c )3 に手を加えて
= a3 + b3 + c3 - 3abc
となるようにするには
3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3c2a + 3ca2 + 9abc
を引けばよいことが解ります。
（ちなみに 9abc となるのは、-3 = 6 - 9 であるためです）
これを因数分解してみますね。
830SH
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08/19(Sun) 08:33
4
くろ
まずはこの式を３でくくることからですね。
3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3c2a + 3ca2 + 9abc
= 3 ( a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2 + 3abc )
かっこの中でさらに ab ,bc ,ca をくくり出します。
= 3 { ab ( a + b )
+ bc ( b + c )
+ ca ( c + a )
+ 3abc }
この 3abc を３つに分解して
= 3 { ab ( a + b )
+ bc ( b + c )
+ ca ( c + a )
+ abc + abc + abc }
それぞれの項のかっこ内へと仲間に入れてもらいましょう。
いったん並べ替えますね。
= 3 { ab ( a + b ) + abc
+ bc ( b + c ) + abc
+ ca ( c + a ) + abc }
【分配法則『 XY + XZ = X ( Y + Z ) 』により（この場合は X = ab ,Y = ( a + b )）,Z = c 』となります）
ab ( a + b ) + abc
= ab { ( a + b ) + c }
= ab ( a + b + c )
以下他のも同様に。
ちなみに分配法則は
XY + XZ を X ( Y + Z )
とすることも、その逆の
X ( Y + Z ) を XY + XZ
とすることも両方示しますが、
『くくる』というのは前者の
XY + XZ を X ( Y + Z )
のみを言いますので、『くくる』というのは分配法則のうちの１つだと言えるのではないかと思います。】
= 3 { ab ( a + b + c )
+ bc ( a + b + c )
+ ca ( a + b + c ) }
いい具合に a + b + c が出揃いました。
これをくくらずにはいられないでしょう。くくります。
= 3 ( a + b + c )( ab + bc + ca )
830SH
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08/19(Sun) 08:35
5
くろ
ようするに
3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3c2a + 3ca2 + 9abc
= 3 ( a + b + c )( ab + bc + ca )
なのです。よって
( a + b + c )3 - 3 ( a + b + c )( ab + bc + ca )
= a3 + b3 + c3 - 3abc
であるというわけなのです。
また
( a + b + c )3 は
( a + b + c )( a + b + c )2
と書き表すこともできますので、これを代入することにより
( a + b + c )( a + b + c )2 - 3 ( a + b + c )( ab + bc + ca )
= a3 + b3 + c3 - 3abc
であると言えます。
830SH
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